Вариант первый.
1. Гуглите, где в вашем городе регистрируют новорожденных (в Ларнаке, например, это делается в муниципалитете).
2. Звоните туда, узнаете нужна ли запись.
3. Идете по записи или без, с документами - справка из клиники , паспорта родителей, arc, пинк-слипы, что есть в общем. Лично мне, когда я звонил в муниципалитет сказали принести оригинал нотариально заверенного перевода свидетельства о браке, arc, паспорта. Оригинала перевода у меня не было, как и arc жены (были копии). В итоге просто спросили, почему нет оригинальных доков, сказал они в мигрэйшне, это всех устроило. После задают несколько вопросов в духе, как зовут жену, какой по счету ребенок и оформляют свидетельство. Можно оформить несколько штук. Пошлина за штуку 10 евро.
Вариант второй. Сделать сразу РФ свидетельство в консульстве.