Там почетное консульство, а не консульство. И консул там нештатный. По сути - крайне урезанный в полномочиях. Свидетельство о рождении ребенка на Кипре надо в Никосии получать

Не выйдет. Я в своё время специально беседовал с консулом по этой теме. Посольство отправляет в МИД, а тот в подмосковный загс свой. И вноса не происходит. Там даже работник консульства есть с такой проблемой. Единственный путь легализации-зарегистрировать в пфр ребёнка очно. А зачем там апостиль то, на Кипре он не нужен, перевода авторизованными людьми хватало пока.