Да, можно получить новый загранпаспорт.
У вас не описано несколько дополнений.
1. Подросток прописан в РФ? Если да, то не забудьте в 16 лет проинформировать военкомат в письменном виде с приложением документов, что он постоянно проживает за границей РФ.
2. Если не прописан в РФ, то внутренний паспорт нет обязанности получать, он выдаётся постоянно проживающим на территории РФ.

Получайте не в РФ загранпаспорт, а в консульстве на Кипре.

Да.

Если работодатель жены согласится, то самый оптимальный вариант - дистанционный трудовой договор с указанием места работы: Кипр.

Этот год переходный, где/как/сколько платить налогов зависит от конкретных условий ваших.

Обратитесь к своему работодателю в отдел кадров. Они, если квалифицированные, то знают как делать.
Если конечно работодатель согласен будет.