Просто задекларируйте на въезде в Кипр и потом вносите на счет в банк. Можно разбить на суммы меньше 500 долларов и вносить частями. При необходимости покажете декларацию что ввезли наличные.

Как вариант - поменять баксы в обменнике на евро (там ничего не спрашивают, но курс не ахти), брать там чеки об обмене и вносить через банкомат, как выше предложили. При возникновении вопросов покажете декларацию и чеки что поменяли на евро.