Если вы будете расписываться как туристы на Кипре, то только паспорта, свидетельства о рождении (с переводом от pio) и справками об отсутствии брака из родной страны (перевод pio). Если как резиденты Кипра, то тогда ещё + non marriage certificate из мигрейшн.
Почитать тут: https://www.limassolmunicipal.com.cy/en/civil-weddings
И тут: http://www.moi.gov.cy/moi/crmd/crmd.nsf/All/545F0339C9CC7251C2257D2C004505AE?OpenDocument

Если внж Кипра, соотвественно резидент Кипра.

Ну да.. а почему нет то?)

С 2019 года ввели новое правило что надо сообщать о браке, оформленном за границей, в течение месяца. А так просто показываете сертификат о браке там, где понадобится и он будет иметь такую же силу как и российский. Просто с переводом будете его предоставлять.