Официальный сайт консульства в Вашингтоне утверждает обратное:

https://washington.mid.ru/ru/consular-services/citizens-russia/ychet/snyatie-s-registratsionnogo-uchyeta-po-mestu-zhitelstva-v-rossii/

Только через доверенность

я не про выписаться в никуда, это можно, особенно в связи с выбытием за пределы РФ. Я про то, что в консульстве это сделать нельзя. В консульстве можно только сделать доверенность, чтобы другой человек за вас это сделал в россии

ну, я лично упоминаний о такой услуге на сайте консульского отдела посольства на Кипре не вижу.
Вот тарифы на все консульские услуги, в какой категории будет выписка человека из россии?
https://cyprus.mid.ru/upload/iblock/efc/pznv43n4fglcni9a8u08e1w8djjzp0ov.pdf

невероятно совсем. ЗАГС к этому не имеет никакого отношения. Список соответствующих консульских услуг - исчерпывающий.

вы это лично делали в консульстве? Если да - можете посмотреть на какую услугу записывались?