В каком вы городе?

Можно
Потом нотариальную копию этих справок, апостиль на это и перевод
А потом по прилёту здесь в местной клинике

У меня была такая процедура

Если работодатель потребовал, значит нужно

В мск любая платная

Если в мск то могу даже контакт конторы дать которая занимается и апостилями и переводом

3. Прилететь сюда, прийти в местную клинику и сдать все то же самое: кровь и флюорографию

Причём суммарно
Нельзя 90 отбыть по про визе, выехать и въехать по шенгену ещё на 90

Наверное все таки лучше делать про визу для вылета
Чтобы не вызывать вопросов

А так вроде никакими "списками" не обменивается Россия и кипр

У меня в аэропорту никогда не спрашивали даже про визу ни на регистрации ни на паспортном

Сейчас и на кипр прямые рейсы не летают

Я бы советовала написать в посольство Кипра email с таким вопросом
Потому что в связи с нынешней ситуацией возможно детям и не надо будет делать паспорта отдельно с учётом, что насколько я знаю, по паспорту нового образца спокойно без виз летают.

Сегодня ещё рабочий день у посольства Кипра в России
Не знаю насколько корректно писать в посольство России вопрос, находясь в Румынии, но они могут ответить

Или тоже уже выходной 🤔

Обычно работодатель возмещает расход по релокации