Берите с собой наличкой сумму за первый месяц. Если квартира нравится, то сразу говорить об этом агенту или собственнику (кто там вам показывать будет) и оставляйте депозит всю сумму или половину для подтверждения намерений (лучше половину). Вам выдадут ресипт, где будет указана сумма и ваши данные. Это официальный документ. А дальше как договоритесь. Можете заключить договор и перевести на счёт деньги либо же наличкой какую-то часть отдать. Тут возможны варианты. И заранее проговорите все моменты по счетам, можно/нужно ли вам переводить их на себя, включены ли они в аренду или нет. Кто оплачивает коммон экспенсес (если многоквартирный дом), есть ли интернет и тд. Если будете на себя счета переводить, то учтите, что на воду и электричество у вас потребуют депозит 250 и 350 евро при переводе.И внимательно читайте договор, не бойтесь вносить в него правки или уточнять непонятные моменты. Внимательно смотрите на пункты про депозит и расторжение договора. Ну и удачи, не знаю в каки вы городе, но в Лимассоле как горячие пирожки хорошие квартиры разбирают