Доверенность это не государственный документ, всё правильно.

Нужно отметить, что между Россией и Кипром действует двухсторонний договор «О правовой помощи по гражданским и уголовным делам» от 19 января 1984 года. В соответствии с этим договором, заключённым между СССР и Кипром, документы, выданные и засвидетельствованные в установленном законом порядке уполномоченным сотрудником государственного ведомства и скреплённые гербовой печатью, имеют на территории другого государства полную юридическую силу и не требуют какого-либо дополнительного заверения. Таким образом, официальный документ, выданный на Кипре и заверенный печатью и подписью государственного чиновника на территории РФ не требует заверения апостилем. 
https://dom.com.cy/live/documents/apostille-in-cyprus-legalization-of-documents/

Глупости. Доверенности для РФ делают не только граждане РФ, а иностранцы не могут делать в консульстве РФ.
P.S. есть отдельные неучи, тогда может понадобится подаказывать что так можно, консульская проще и дешевле.

Тинькофф отлично работает на Кипре для гражданина РФ.
В целом гражданство роль играет при "длинных" туристических, надо читать правила.

Делают. Но:
4.Не является Территорией страхования:
- для Граждан РФ – территория Иностранного государства, в котором постоянно или преимущественно (более 90 (девяноста) дней в течение
12 месяцев, предшествующих событию, имеющему признаки страхового случая) проживает и/или гражданином (в том числе, в случае
множественного гражданства) которого является, или в котором имеет вид на жительство Застрахованный. Количество дней, проведенных
Застрахованным на территории страхования государства-члена Шенгенской зоны соглашения, приравнивается к количеству дней,
проведенных на территории страхования одного Иностранного государства;
– для Иностранных граждан – территория любого государства, в котором постоянно или преимущественно (более 90 (девяноста) дней в
течение 12 месяцев, предшествующих событию, имеющему признаки страхового случая) проживает и/или гражданином (в том числе, в случае
множественного гражданства) которого является, или в котором имеет вид на жительство Застрахованный. Количество дней, проведенных
Застрахованным на территории страхования государства-члена Шенгенской зоны соглашения, приравнивается к количеству дней,
проведенных на территории страхования одного Иностранного государства.

У меня не Хеленик но. Вы всё прочитали, раньше у меня тоже было покупать по карте - в новой редакции нет таких ограничений.
Мне кажется им запретили так делать. Другой ЕС банк.

Я у банка запросил свежий полис, они прислали - а там новая редакция.

Они из-за ковида поменяли условия, почитайте. Напишите пожалуйста как оно в Хеленик :)

Жаль.

А номер чего спрашивают в анкете, дословно?