Они появляются ровно на 3 месяца в переёд и тут же их занимают, иногда кто-то отменяет и тогда появляются свободные.

Вот в Ларнаке я бы точно сходил, но сам не был там после начала работы онлайн записи.

Пишите e-mail + заказное бумажное письмо, они будут обязаны ответить письменно - это уже можно использовать в дальнейшем. Ну и пытайтесь словить.

Можно так указать, на контроле главное не меньше 3 месяцев остаток паспорта.
Можно сделать и визу, вот насчёт турагенства не знаю.

в рабочее время от получаса, до суток

Соберите копии вашего пермита, копию записи онлайн и.д. и отправьте заказным письмом с письмом что у вас нет возможности записаться во время и вы начали заранее - сохраните квиток о письме, даже если не дождётесь ответа у вас будет хоть что-то.

В Ларнаке всё по другому.
Там нет "общего" входа, в кабинеты вход с улицы. Информация соответственно доступнее.

Хотелось бы что-бы можно было записать на то время которое удобно, а не этот цирк. Который и проработал толь 2-3 недели...и полон.

Ввезти она может только на себя, чужие деньги ввозить просто так нельзя.
Налогов от матери нет.
Да, её могут попросить показать легльность ещё на выезде и тут тоже если вы конечно не потратите всё наличными, без крупных покупок.