В России если скажете, что вы не резидент, то из зарплаты будут брать НДФЛ по ставке 30%. Доход свой надо будет задекларировать на Кипре. Удержанный налог можно будет зачесть при подаче декларации на Кипре.

Вы должны будете добавить эти суммы в доход свой гросс зп. На базу посчитать сумму налога к уплате, потом вычесть сумму уплаченного в РФ налога, вычесть уплаченный НДФЛ на Кипре. Если что-то останется, то доплатить на Кипре. Зависит от расчета, скорее всего придётся на Кипре доплатить, так как ставка обычно выше. На Кипре ставка прогрессивная, так что общий налог у вас зависит от доходов.

Да, все верно

Декларация о доходах. Вы обязаны ее подавать по закону Кипра

Вы должны были какие-то бумаги подписывать. От агента или саму декларацию. Все зависит от того как реализован процесс в вашей компании, если работодатель этим занимается у вас.