Для этой смену надо подаваться не в Никосии уже, а в локальных иммиграционных офисах

Форма MCYE2

Не примут, такой порядок - по месту жительства

Да

По идее формально надо переоформлять, но по факту никто не заморачивается. Название работодателя указано на карточке и в форме работодатель подписывает. Узнайте при подаче и нам расскажете) если прекращаете работать, то нужно переподавать на супругу киприота как визитор.

Не думаю, что нужно указывать и технически можно вписать нескольких работодателей. Это скорее формальное уведомление, что вы в принципе работающая супруга. Укажите одного из работодателей.