Если только нет запрета от отца на выезд. В июле поменялись правила, теперь ребёнок может выезжать с одним из родителей без доверенности, если нет запрета от второго родителя.
Я выезжала с дочерью, у неё лишь спросили кем я ей являюсь и как меня зовут. Читайте официальные источники

Не 5 лет назад, а 12 июля этого года

http://duma.gov.ru/news/52044/

Нет, не нужна
С Кипра нужно разрешение, если только вы(родители) являетесь резидентами. И то не всегда, как показывает практика(недавно в одной из групп на Фейсбук это обсуждали)

Ссылка прям над Вашим сообщением

Кстати, до июля у меня всегда просили документы (справка матери-одиночки). Всегда, на всех границах РФ. И автобусы и поезда и самолёты. Впервые не спросили 16го июля, когда мы летели на Кипр из Москвы. А новые правила ввели 12.07