Привет! Мы в июле перевозили двух собак из Сербии на Кипр, процедура такая же, как с кошками) никаких сербских паспортов не заводили и все было ок. Пишите, если надо будет что-то подсказать детально, помогу чем смогу

У нас не российский паспорт, для ситуации самое главное, что не сербский. Вы можете поставить вакцину в российский паспорт, это будет считаться ревакцинацией и не требует 21 дня выдержки + вас вместе с вакцинацией внесут в сербскую базу по вакцинации от бешенства.
После этого делаете справку о здоровье у ветеринара, которую потом обмениваете на сертификат. Где и как получать сертификат могу рассказать по шагам, если еще не нашли информацию.

По первой части скажите, вы в Белграде или другом городе? Я бы просто вам сказала, к какому врачу и куда мы ходили, они помогут нормально все сделать в плане вакцины и базы