Не должно быть штампов Северного Кипра. У меня ВНЖ южного Кипра, лет 15 по 2 раза в год отдыхаю в Турции и никаких проблем.
Если жили долго в Турции и переживаете и гражданство РФ, можно сделать второй загран и на него ВНЖ.
По коту не знаю, сейчас коллеги подскажут. Может лучше спросить в чате «Уважу кроликов»

Просто штампы ни на что не повлияют, главное, чтобы документы правильно для кота были оформлены еще в Турции