Таких служб нет.
Вывозить животных в другой район противозаконно.
Берёте ловушку под залог в ветклинике и отлавливаете сами для стерилизации/кастрации. Далее отпускаете там же(!), где и поймали.
Укажите город и вам подскажут клиники, где стерилизацию/кастрацию делают со скидками.

Список клиник, открывающихся по экстренным случаям в закрепе, либо завтра утром отлавливаете и везете в ближайшую ветклинику, например Зоокосмос
Если нужна помощь с отловом в Ларнаке, свяжитесь с Project 365 через FB.