привет! я недавно (пару дней назад) приезжала с котом, могу рассказать про свой опыт

паспорт Кипра не делали, был паспорт, который делали в Казахстане
ветеринар в аэропорту сказал, что если захотим выезжать еще куда-то в ЕС, то нужно будет другой паспорт сделать + еще одну справку, а так чтобы въехать нашего казахстанского было достаточно

до вылета нужно позвонить ветеринару аэропортному, чтобы он чекнул все доки и дал бумажку о том что вы его легально ввезли. Бумажка стоила 60 евро если не ошибаюсь.
ветеринару нужно было позвонить заранее, прям до вылета. когда прилетаете, идете в customs, там вас направляют к ветеринару

на этом все, дальше нам не говорили ни к кому идти, ничего делать
только доки поменять если собираемся с котом еще куда-то в ЕС

номер аэропортного ветеринара если что +357 99628841, он говорит по-английски

а такого не слышала

не подскажу