Aegean Airlines летают с пересадкой в Афинах (шенген не нужен). Вижу рейсы с пересадкой 1 час, всего лететь 4 часа с копейками.
Это максимально толерантная к животным авиакомпания, согласовывать ничего не надо, просто покупаете единый билет вместе со своим у них на сайте

можно выбрать вариант с более длинной пересадкой. Там несколько вариантов.

Но для животных комфортнее короткая. Перерегистрация там не нужна, животных перегрузят без вас.