С Кипра самое простое Эгейские авиалинии. Через Афины (шенген не нужен, если единый билет). Они летают много куда. Выберите, где вам удобнее на рейс до РФ пересесть. Самое популярное - Стамбул и Ереван
Но! они не берут брахицефалов в багаж, у них на сайте есть список

ну так то есть еще Сербские авиалинии с кучей ограничений по животным и сложным процессом бронирования и оплаты. Есть Эмирейтс - тоже дорого, сложно и куча документов и странные способы оплаты (продиктуйте нам данные карты и вот это все:)).
Эгейские на фоне всех этих странных ребят просто душки:) и не просят кучу денег.