Тут важный момент — большинство владельцев не ставит просто ничего, поэтому лучше фильтр не ставить, а смотреть на сами объявления

Если написано, что not allowed — проситься, конечно, не нужно.

Но в большинстве объявлений будет пусто — и по ним тоже можно писать и сразу спрашивать про собаку

Подавляющая часть лендлордов просто забивает на это поле

Ну и зависит от жилья, спроса, условий.

Если это топ-квартира по привлекательной цене, может помочь увеличение бюджета

Если это дорогая квартира которая долго висит — там тоже могут согласиться

Но что с депозитом важно учитывать — в целом лендлорд сделает все, чтобы депозит вам не возвращать. Поэтому даже если уверены в том, что собака ничего не испортит, лучше мысленно с суммой расстаться и считать ее возвращение за приятный сюрприз)