Как вариант, можете посмотреть билеты на поезд Батуми — Тбилиси (и обратно). Он ходит несколько раз в день (можно уточнить на сайте грузинской железной дороги расписание), есть остановка в Кутаиси у аэропорта. Экспресс, общий путь что-то около шести часов, это быстрее машины получится. Но животных можно только в переноске, кажется