У меня была аналогичная ситуация, проблем не было

Кроме того перевозчики так летают и не вписывают себя в паспорт собаки

Справка да.
Но вы же про паспорт спрашивали.

Мне по причине того, что в паспорте вписан муж, а везла я (жена) отказали в клинике на сдачу титров к бешенству. Но это какой-то бред клиники, в итоге я не стала делать этот анализ, сэкономила. В декларации главное указать, что в транзитной зоне не выходили в город.