В Собачьем паспорте.
Где графа фио хозяина, обычно там под двух человек строчка, либо через / надо себя вписать.

Которую вы получаете в ветеринарной клинике перед полетом. Вы из Рф на Кипр летите?

Понятно, с Кипра в Грузию может подскажут сейчас у кого был опыт. У нас есть в гайде информация про опыт девушки, которая наоборот летела из Грузии на Кипр.
В общем, в справку должен быть вписан тот, кто повезет собаку, это по любому.

Я не знаю, у меня есть опыт только РФ - Кипр, с остальными странами как то посложнее.
Логично предположить, что да, нужна справка с вашим фио все же.
Лучше еще лишний раз уточнить в ветклинике.

Ну может сейчас в чате кто то отзовется, кто уже по этому маршруту летал.

Лучше написать на почту аэропорта Ларнаки.
Правда когда я им писала на почту они отвечали какую-то фигню, но по факту ветеринар был. Плюс еще играет роль во сколько вы прилетаете. Ночью может быть ожидание ветеринара, днем если его нет, то писали, что где то в течение получаса-часа он приходит