Вариант никуда не пристраивать кота, снять квартиру посуточно, где можно с животными, за пару-тройку дней найти квартиру на постоянную аренду и заехать с котом не рассматривается?

Если собака в багажном отделении и у вас единый билет, то на пересадку животное остаётся в багажном отделении.
Мы летели через Каир (но собака 15 кг, хотя это не важно), пересадка была 2 часа, собаку никто не отдал.

Нюанс - убедиться, что собаку после пересадки (менялся самолёт) доставили в самолёт.

Для этого не нужно посещение врача. Просто в ветклинике продают.
Но объемами увлекаться не стоит...

Можно позвонить и уточнить, есть ли на конкретный вес.