Здравствуйте.
Если единый билет одной ак, то собака транзитом вместе с багажом переезжает в другой самолет. Вы, когда погрузитесь в самолет в Стамбуле, попросите бортпроводников уточнить, что собаку погрузили.
А если разные ак, то будете получать в Стамбуле весь багаж и собаку и заново регистрироваться и сдавать собаку.

А какой бокс вы купили?

Может, более опытные люди Вам подскажут, где можно авиа-бокс купить на Кипре. Но вам еще с размером нужно определиться.
Удачи!

Про сервис дог уже тут неоднократно обсуждали - бесполезная вещь в РФ и Европе в большинстве случаев ☹️ Уж для собаки 30 кг точно.