Просто сами распечатайте и заполните

Это два независимых процесса )
Для европаспорта можно просто в клинику прийти и оформить его, но также можно оставаться с вашим действующим паспортом
Регистрация это для уплаты налогов за собаку

Верно

Честно не знаю насколько строго это проверяют (

Да, но для этого нужно поставить в европаспорт прививки , сам по себе он ничего не упрощает

Еще комплексную прививку

С евро паспортом надо за пару дней прийти на осмотр в любую ветеринарную клинику и поставит т печать об осмотре