Для себя вот такие находила, у которых явно указано, что могут принять в нерабочее время, опыта обращения не было

Larnaca Dr Michalis Louka veterinary clinic
For emergencies please call 99668423
https://goo.gl/maps/9auCeTKrTPJCCu4b9

D&N VET NICOSIA, DALI
Emergency 96525646 for Nicosia Area
https://goo.gl/maps/5zicKF74rAz8ToHu5