Евросправку оформляйте на того, кто ввезет хвостика на Кипр, паспорт этого человека просят предъявит на ветконтроле. Что в паспорте вообще не имеет значения.
Но здесь у вас возникают трудности с оформлением международного сертификата в России, потому что при обмене Ф1 на него обычно тоже требуют паспорт и подпись человека - того, который указан в Ф1. Если получится там этот вопрос как-то решить…

Нет, на 2 фамилии не может быть, насколько я знаю, но вы можете позвонить в вет контроль аэропорта вылета и уточнить.

Ну значит, как повезет. На ветконтроле Внуково паспорт того, на кого выдана Ф1, тут же оформляют международный сертификат, в котором владелец паспорта расписывается.
Ну, или в ВГНКИ идти оформлять, если там не спрашивают.
На стойке регистрации как правило, вообще никого не интересует ни животное, ни документы, только оплата, максимум вес. Тоже связано с оплатой 😉