У многих клиник есть экстренный номер и врач приезжает в клинику. Small Animal Hospital в выходные вроде работает и экстренно врач приезжает в нерабочие часы.

Emergency 24/7
For after working hours emergencies please call +357 99664080

Нет, проблем не будет. Ветпаспорт менять не обязательно.

Лучше только к моменту 4 месяцев нахождения на Кипре зарегистрировать собаку в муниципалитете и заплатить налог. В закрепе есть инструкция.