Что значит кипрский паспорт? Местный или европейский ?

Нет не один паспорт. Есть синий EC, с ним путешествуете, а в клинике вам выдают местный паспорт ( белый) он бесплатный, в нем так же указан микрочип, все данные по собаке, прививки и тд, это как медкарта людей для клиники.

Значит вы сразу просили паспорт ЕС.

Да , это ЕС

Подходите на стойку регистрации , вместе со своим показываете , на регистрации проверят прививки и остальные страницы.
И все.
Тут многие путают вылет с Кипра и прилет. При вылете никакой ветконтроль в аэропорту не нужен .
Проверяет все а/к на регистрации.

Возможно называется веткнижка.