Если вы говорите, что ненадолго, то оставляют на руках с новой печатью. Если скажете, что надолго - забирают

У нас даже не спросили по факту и оставили нам)) но общие правила такие, т.к. евросерт позволяет после въезда еще 3 или 4 месяца по ЕС перемещаться, а если надолго, то нужно делать уже европаспорт.
Были в чате кейсы, когда так же без особых вопросов забирали, поэтому лучше знать правила, чтобы, если сертификат нужен, то знать, на каком основании просить оставить при попытке забрать

Регистрировать и без справки можно. Просто ветеринар мог быть в своих мыслях, мне кажется, или торопиться. Когда мы проходили контроль с двумя собаками, там с рейса такая очередь на вет.контроль была, что всё старались как можно быстрее сделать и без лишних вопросов