Если вы тут как турист - не нужно. Если как резидент - без регистрации можно «налететь» на штраф:) с Кипра вроде не выгоняют

И регистрировать нужно не в клинике, а в муниципалитете. Европаспорт собаке для этого не нужен. Обычный паспорт, с которым вы въезжали, подойдет. У меня собака зарегистрирована, а паспорта у неё пока местного нет

Ну в общем, как написали, нужно зарегистрировать и заплатить налог. Но сделать это можно не спеша:)