Очень и очень многие, пройдитесь поиском по чату - куча отчетов, в том числе с фото и видео о перелетах Emirates

1. Если вы летите компанией Emirates, вам не дадут купить место для собаки на такой рейс. Они не выдают в Дубае собак при транзите (как и багаж), поэтому в принципе берут животных только на рейсы с небольшими стыковками. Общая длина всех рейсов+ пересадки не должна превышать 15 (или 17, надо уточнить) часов
2. Если вы какой-то другой авиакомпанией в Дубай прилетаете, то учтите, что правила ввоза в Дубай отличаются от правил транзита. Возможно, собака в принципе сможет полететь только карго-сервисом, а не в зоо-отсеке самолета, в чате были кейсы с этой проблемой

Смотрите, обычно эмиратами летают транзитным билетом, тогда собака летит в багаже (зоо-отсеке) вашего же самолета. Животное после регистрации на рейс сдается как негабаритный багаж и получается вместе с багажом в конечному пункте маршрута. Так можно и так тут куча народу перелетали.
Карго - это отдельные перевозки, как перевозки грузов, когда животное летит вообще в другом карго-самолете скорее всего в другое время и в другой день. Тут я, к сожалению, в деталях не разбираюсь, но знаю, что в Дубае есть специфика, когда летишь туда как в конечный пункт, а не транзитом (ну например: вы найдете одной авиакомпанией билеты до Дубая, а потом хотите сами пересесть и перерегаться на другую, у вас будет не транзитный билет Кипр-РФ), то они вроде "к себе" не принимают животных никак кроме специальных карго-перевозок.

Если не найдутся билеты с короткими транзитными рейсами Emirates, посмотрите варианты через Ереван. Cyprus берут животных и в багаж и в салон, а из Еревана в РФ вроде даже выбор есть из российских а/к. В Ереване нет транзитной зоны вообще, там в любом случае собаку выдадут, если стыковка большая, то можно и погулять выйти из аэропорта.

Можно, если все авиа-компании подтвердят вам собачку на рейс и вы заложите достаточное время на пересадку. С Кипра в РФ даже проще это, потому что никаких вопросов про титры у РФ нет (все обсуждения в чате про покидание и не покидание аэропорта связанны именно с вопросом титров). Люди и из РФ на КИпр летают с 2 регистрациями, когда через Ереван (потому что там нет транзита как такового). Только уточните, какие именно документы вам нужно у ветеринара перед вылетом оформить. Это зависит от того, действует ли еще у вас евросертификат с которым вылетали из РФ или оформляли здесь уже европаспорт - в общем, какой вет.статус у собаки