Все зависит от региона. В Москве писали многие, что запись к ветеринару идёт через mos.ru, в Петербурге мы спокойно обратились в госветклинику без дополнительных записей. Пришли к началу приёма и были уже третьи в очереди.

Мы правда летели не с Кипра, а из Белграда через Афины на Кипр, но покупали билеты на сайте а/к и там же добавляли кошку в салон и собаку для перевозки в багаже.

Если там не добавить к билету, значит мест уже нет. Проверьте другие даты. Либо позвоните в поддержку, они отлично говорят по английски.

У пассажирских паромов уже закончился сезон навигации. Только в следующем году и мест для животных на рейсах очень мало.

В пассажирских паромах при проживании в кабине не встречала требования по наличию переноски (плыли с собакой из Эстонии в Швецию и из Дании в Германию).

Но из Пирея в Лимассол есть ещё зона транспортировки животных без хозяина (он ночует в кабине). Думаю там переноска уже будет необходима.