Я летела Кипрскими. Для них непринципиальна порода. У меня указано метис, по сути беспородная, для них норм.
Для Эмирейтс это важно. Либо пишите (придумываете) какая порода с какой смешана, при этом проверяя, что не выбрали запрещённую к ввозу породу. Либо пишите domestic short (или long) hair. Это аналог беспородной.

У меня муж дозванивался на их местный кипрский номер со своего кипрского

Единственное, что это про кошек актуально. Про собак не в курсе, если честно