Если котенок здоровый, то с прививками повременить не страшно, они ж для профилактики.
Я своих прямо с улицы несла в ветку, чтобы там сказали, надо его купать с обычным шампунем или с шампунем от блох. Ну, потому что если их нет, то это лишнее раздражение кожи, а если блохи есть, то нужно с первого раза убрать и не стрессовать кота вторым купанием. Кровь сразу сдать не получится, потому что неизвестно, что и когда он последний раз ел. Корм, кстати, тоже вет посоветует

Потом сразу глистогонное, пару дней дать спокойно пожить — и можно тащить в поликлинику на опыты делать анализы