У меня подруга, кажется, за один день где-то оформляла доки для вывоза животных, как в Москве в ВГНКИ, только в Питере, но подробностей не знаю.
Но вообще обе справки (гос ветеринарка и Россельхознадзор) реально оформить за несколько часов, учитывая очереди.

Когда была первая прививка - с этой точки зрения неважно, главное, чтобы последняя, с которой Вы полетите, была после чипа.