Если животное летит в багаже, после регистрации обычно сдают на стойку негабаритного багажа. Если в салоне, то Вы с ним идёте на посадку и везёте под креслом спереди или вообще на коленях в переноске (это не по правилам, но стюардессы часто закрывают глаза).

Вообще ответы примерно на каждый Ваш вопрос есть в чате) Поищите, например, отзывы о полётах, тут обычно довольно подробно описывают все шаги.
Количество переносок (если Ваши животные вообще не против ехать в одной общей) зависит в основном от требований авиакомпаний, смотрите, какой маршрут Вам подходит, и гуглите *название а/к* pet policy .

В целом нет большой разницы, летели люди, например, Эмиратами два дня назад или два месяца) Разве что в последнее время больше пишут о маршрутах не напрямую из аэропортов России, т.к. убрали требование веских оснований на выезд из России по суше)

Только бешенство) мне кажется, если Вы объясните всю ситуацию врачу в клинике, то Вам действительно пойдут навстречу и не будут колоть, только наклейку в паспорт сделают.

В Вашем городе, наверное, не одна ветеринарка? Сходите в другую, попробуйте лично договориться с врачом на приёме (по телефону вряд ли кто-то захочет соглашаться на такое), на крайний случай, если у Вас животное молодое и здоровое, можно и рискнуть, после предыдущей прививки уже полгода прошло. Я бы примерно в таком порядке делала.

Если не останется выхода, и придётся колоть повторно, я бы посоветовала Вам ради самоуспокоения почитать про побочные реакции, которые может вызвать вакцина (если это Вас не испугает 😊), составить какой-то алгоритм действий: что Вы будете делать, если что-то случится, и внимательно наблюдать за кошкой. Надеюсь, всё будет хорошо, и Вам пойдут навстречу)