На сайте у них написано, что максимум 8 кг животное само и 10 вместе с переноской

Соколов вот так:

"Pets are not permitted in the cabin, with the exception of falcons between Dubai and certain destinations in Pakistan. "

Ну и как багаж тоже, кстати)

Вот тут: https://www.pettravel.com/airline_pet_rules/emirates.cfm вроде написано, что Эмираты берут птичек, но эти данные могут быть неактуальными, лучше звонить им в поддержку по указанному на сайте номеру.

У Туркишей ещё можно перевозить (но не знаю, есть ли маршруты до Кипра через них хотя бы частично). Судя по их pet policy, с птицами есть нюансы, связанные с конкретными видами и породами: https://www.turkishairlines.com/en-int/any-questions/traveling-with-pets/