Откуда именно Вы вылетаете на Кипр и будете ли выходить в страну в Грузии?

Если из Грузии, то титры точно нужны. Если у Вас их не будет, придётся заплатить в районе 300 евро ветеринару за карантин животного (что означает, в общем-то, отсутствие контактов с другими животными, то есть сидение дома, и проверку соблюдения карантина местным ветеринаром, если ему будет не лень).
Вы писали, что чипа нет - вот это плохо, не знаю, что с этим можно делать, кроме как установить его (и попросить прописать в документах дату установки задним числом до последней вакцины от бешенства).

Вообще транзит - это когда в страну вообще не выходишь. Если выходить, то ветеринар потребует титры (иногда не требует, если очень короткая пересадка, очевидно, что люди въехали в страну и не выходя из аэропорта, выехали).

Если бы всё было так просто, люди по 12 часов не сидели бы в аэропорту Каира)

Смотря перелёты куда. 120 часов, как я понимаю, требует Россельхознадзор, за такое время до вылета за пределы страны животное должно пройти обработку от паразитов.