Летела с котом в салоне где-то 24 часа (с двумя пересадками Питер-Сочи-Каир-Ларнака), с ним было ноль проблем, хотя успокоительное давала только перед первым полётом, так что вполне может быть, что и Вам повезёт, и всё пройдёт без проблем! Тут в чате вроде только один случай был, когда кошка от нервов весь полёт пела.

Да там никто в породах не разбирается, хоть персидскую пишите)

На ветконтроле всё, что интересует сотрудников в кошке — совпадает ли номер чипа в её загривке (или другом месте) и номер в доках, больше ничего не смотрят, так что не переживайте)

Летела с котом через Каир, до него Аэрофлотом, оттуда на Кипр Cyprus Airways, кроме долгой пересадки, всё прошло нормально.

Я в Питере всё делала, но надеюсь, что ответы по моему опыту Вам помогут:
В горветстанцию можно ехать без записи в любое время, не обязательно ехать даже в ту, которая отвечает за Ваш район. У меня так вышло, что приехав в одну, обнаружила там санитарный день, и пришлось срочно перекраивать планы и ехать в соседнюю.
Про обработку от паразитов просто проставили штамп, но по факту ничего не давали, наверное, можно попросить у них, чтобы дали.
При получении справки в ней указывается пункт обмена, по крайней мере, у нас так: если пишут, что обменять надо на Финляндском вокзале (напоминаю, речь про Питер), значит, надо ехать именно туда, а не в Пулково или Морской порт. Я меняла на Финбане, хотя оттуда никуда не уезжала, а улетала на самолёте из Пулково.
Насчёт того, хватит ли Вам евросертификата на весь маршрут, не уверена, наверняка в Минск нужен другой документ для стран СНГ. По идее, там, где Вы будете обменивать справку из горветстанции, сотрудники сами должны знать, какие именно бумажки Вам выдавать.