Требования IATA есть, в том числе точные параметры, как выбирать переноску в зависимости от размеров животного: https://www.iata.org/en/programs/cargo/live-animals/pets/
Из важного: обязательно нужно, чтобы переноска скреплялась болтами, дверца была со специальным замком, в аэропорту ещё её стяжками закрепляют, чтобы точно-точно не открылась

Если я не ошибаюсь, Египет принимает Спутник. По крайней мере, ко мне вопросов с сертификатом с двумя вакцинациями Спутником V не было.

Если свежий, точно не надо. Если давно ставили, то лучше погуглить правила Египта.

Для выезда из РФ не в курсе, а вот Кипр с 1 июня отменяет ограничения на въезд, то есть ни QR-кода о вакцинации, ни ПЦР не нужно.

Я летела через Каир с раздельным бронированием, и у меня не было проблем с транзитом, персонал аэропорта всё обеспечил, на территорию страны не выходила. Не могу точно сказать, как будет у Вас в Стамбуле, но если не выходите из аэропорта, титры не нужны. Сохраните корешки посадочных, ветеринар их отсканирует, на всякий случай можно заполнить декларацию о невыходе из транзита, она лежит в документах этого чата.

В обычной ситуации при въезде из Украины в ЕС Вам понадобились бы микрочип, вакцина от бешенства, результаты анализа на титры антител к бешенству: https://europa.eu/youreurope/citizens/travel/carry/animal-plant/index_en.htm#shortcut-2 (тут нужно выбрать в выпадающем списке Вашу страну)
На данный момент, судя по всему, условия существенно упрощены, погуглите "правила ввоза животных в евросоюз 2022 из Украины". Одна из статей, которые выпадают в поиске: https://welttierschutz.org/fleeing-ukraine-with-pets-russian/