в РФ этот сертификат выдают в ветеринарной службе аэропорта вылета в РФ (и потом он действует 10 дней), в обмен на справку из госветклиники (она действует 5 дней)

тогда вам надо сначала все равно получить справку в госветклинике, потом в течение 5 дней поменять ее на сертификат ЕС в одном из ветпунктов Россельхознадзора, в Мск они помимо эаропортов есть на Киевском вокзале и Хорошевском шоссе

в других регионах можно поискать на сайтах региональных отделений Россельхознадзора. Потом с этим сертификатом ЕС в течение 10 дней можно выехать

или обратиться в компанию, которая занимается помощью с оформлением доков на вывоз животных, они вам сразу весь пакет сделают, но я сама не обращалась

в аэропорту и там и там нужен сертификат ЕС, при прилете на Кипр идти в ветслужбе надо показывать этот сертификат ЕС

это тогда лучше в ветслужбе Эстонии уточнять