1) нет, не смотрят, с ваших слов
2) можно, так и скажите - есть несколько вариантов перелёта

В а/п смотрят ветпаспорт и собственно саму справку из госветклиники, из неё и переносят инфу в международную форму. Животинку в 90% случаев не смотрят, но при себе иметь надо )

Должен остаться у вас, он действует сколько-то месяцев (2 или 3 вроде, но точно не помню), по нему обратно в РФ и возвращаетесь

Увы, ваш европаспорт превращается в обычный (как тот, что выдали бы в РФ). Европаспорт даёт преференции только при наличии в нем актуальных прививок, сделанных в ЕС