Если в РФ были более 2 недель, то за 1-2 дня до вылета надо ехать в гос.ветклинику и ставить в европаспорт печать о клиническом осмотре животного

Если Вы НЕ будете покидать транзитную зону, то НЕ нужны

К сожалению тут точно не подскажу. Но думаю, если Ваш билет транзитный (одна авиакомпания от начала и до конца путешествия и в Сербии Вы не проходите заново регистрацию, паспортный контроль и не получаете багаж для перерегистрации), то даже, если в транзитной зоне Вам отдадут хвостика на время (хотя не знаю, делают ли так) - это не страшно, главное, что по прилету на Кипр Вы легко объясните пограничникам, что у Вас был транзит и Вы не покидали его пределы (билет, как подтверждение).