Главное, чтоб переноска закрывалась полностью (не торчала голова, например, есть такие).
А так да, с той, которая на фото под Вашим сообщением мы тоже постоянно летаем - никто ещё ничего не говорил.)

Без мебели снять с собакой - без проблем обычно.
С мебелью - новую, скорее всего (99% наверное), не сдадут.
А так, в не новых, обычно доп депозит просят, да.

По выгулам: выше написали про 2 дог парка + есть дог пляжи ещё. Но обычно, как понимаю, все на пустырях разных гуляют.

Ага.
Ещё гуляют в не сезон по обычным пляжам, тоже ок (оборудование убирают, поэтому законом не запрещено, вроде, где явных знаков нет), но можно наткнуться на принципиальных, которые скажут пару слов (возможно грубых) по поводу собачки.

По нужде всегда найдёте дорожку какую-нибудь.) Мы даже тупо по набережной гуляли, когда рядом с морем жили.
Поиграть/побегать без поводка - это только в дог парки/собачьи пляжи. Ну может пустыри, если прибегает по команде.)