Я недавно, в октябре, с этим вопросом столкнулась. Справка эта отменена, но не все авиакомпании убрали ее из перечня. В СПб при вылете заполняется таможенная декларация на собаку, и все.
По поиску жилья - если это Bazaraki или агентства, то там всегда есть фильтр. Но лучше спрашивать напрямую у того кто сдаёт. Если маленькая собака совсем, к примеру, то разрешают часто даже там, где написано, что нельзя.