Я рекомендую взять какую-то легкую ткань (плед флисовый из икеи, лучше, чтоб пах мамой, домом) и занавешивать с трех сторон кота. Оставлять решетку открытой и ее всегда поворачивать к себе.
Пожалуйста, не волнуйтесь, кошки переносят дорогу легче, чем мы того ожидаем.