Поделюсь нашим перелётом (успешным).
Летели с хасей из Киева в Ларнаку.
Летели МАУ, собака + клетка (Trixie Skudo 7) - больше 40 кг.

Из документов были:
- евро ветпаспорт
- титры на бешенство (чуть старше 3 мес.)
- справка Ф-1 от гос. ветеринара

Не было:
- документ о том, что собака не представляет племенной ценности
- болтов, просто стяжки

Услуга перевозки собаки как зарегистрированного багажа покупалась заранее.

В Борисполе нужно было:
- занести документы и показать собаку ветеринару в аэропорту, за полчаса до регистрации
- на стойке сдачи багажа получить бирку на клетку
- на таможенной стойке заполнить таможенную декларацию на собаку
- сдать клетку с собакой в негабаритный багаж - снять всё (ошейник, адресник) с собаки, и прогнать вместе с клеткой через сканер, собаку провести отдельно

По прилету в Ларнаку позвали ветеринара, показали документы и собаку, получили новые документы и поехали домой.

В целом - всё прошло нормально.