emergency отдел в Nicosia General Hospital. возьмите любой паспорт/ID. возьмут всего 10 евро при любом раскладе. но придется подождать очередь (до нескольких часов).
детей пускали без очереди, наверное в зависимости от тяжести...

если не боитесь немножко разориться, то можно в American Medical Center. написано, что круглосуточный

cyprus helpers в телеграме
еще есть фейсбук "Работа на Кипре (Лимассол, Ларнака, Пафос, Никосия, Айя-Напа)"